生长速率和倍增时间之间的公式是：

倍增时间（Doubling Time）= ln(2) / 生长速率（Growth Rate）

这个公式是通过对生物学和数学的研究得出的。

生长速率是指单位时间内个体数量的增加量，通常用百分比或倍数表示。倍增时间是指一个群体中个体数量翻倍所需的时间。

证明这个公式的方法是通过微积分和指数函数的性质。假设一个群体的初始数量为N0，生长速率为r，时间为t，那么群体数量N(t)可以表示为：

N(t) = N0 * e^(rt)

其中，e是自然对数的底数。当群体数量翻倍时，有N(t) = 2N0，代入上式得到：

2N0 = N0 * e^(rt)

化简得到：

2 = e^(rt)

取对数得到：

ln(2) = rt

解出r，得到：

r = ln(2) / t

因此，倍增时间可以表示为倍增时间（Doubling Time）= ln(2) / 生长速率（Growth Rate）。

这个公式在生物学、经济学、人口学等领域中有广泛的应用，可以帮助我们理解和预测群体的增长趋势。